ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30.  Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что  A + B = C  и  C > 1000 rad(ABC)?

   Решение

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 187]      



Задача 64717

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30.  Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что  A + B = C  и  C > 1000 rad(ABC)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 77873

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Решите в натуральных числах уравнение  xy = yx  при  x ≠ y.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109633

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Пусть натуральные числа x, y, p, n и k таковы, что   xn + yn = pk.
Докажите, что если число n  (n > 1)  нечётно, а число p нечётное простое, то n является степенью числа p (с натуральным показателем).

Прислать комментарий     Решение

Задача 109702

Темы:   [ Формула включения-исключения ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Процессы и операции ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73618

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что числа 1, 2, ..., n ни при каком  n > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 187]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .