Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Основание KM равнобедренного треугольника KLM является хордой окружности, центр которой лежит вне треугольника KLM. Прямые, проходящие через точку L, касаются окружности в точках P и Q. Найдите площадь треугольника PLQ, если  KL = LM = ,  ∠KLM = 2 arcsin ,  а радиус окружности
равен 1.

Вниз   Решение


На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные a и b.
Найдите основание треугольника.

ВверхВниз   Решение


Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2n  в последовательности  a1, a2, ..., a2n,  чтобы сумма  |a1a2| + |a2a3| + ... + |a2n–1a2n| + |a2na1|  была наибольшей?

ВверхВниз   Решение


Докажите равенство:

4arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ - arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{239}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$.


ВверхВниз   Решение


Докажите равенство:

arctg x + arctg y = arctg $\displaystyle {\frac{x+y}{1-xy}}$ + $\displaystyle \varepsilon$$\displaystyle \pi$,

где $ \varepsilon$ = 0, если xy < 1, $ \varepsilon$ = - 1 , если xy > 1 и x < 0, $ \varepsilon$ = + 1, если xy > 1 и x > 0.

ВверхВниз   Решение


Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

ВверхВниз   Решение


Автор: Mudgal A.

Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение  P(x) = a.  Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.

ВверхВниз   Решение


Может ли бильярдный шар, отразившись поочередно от двух соседних сторон прямоугольного бильярдного стола, прийти в исходную точку?

ВверхВниз   Решение


В окружности с центром O проведены параллельные хорды PQ и RS, диаметр SE и хорда RE. Хорда RE пересекает хорду PQ в точке F, из точки F опущен перпендикуляр FH на SE. Известно, что радиус окружности равен r, а  EH = 3r/8.  Найдите расстояние от середины отрезка EO до середины хорды RQ.

ВверхВниз   Решение


К некоторому числу прибавили его сумму цифр и получили 2014. Приведите пример такого числа.

ВверхВниз   Решение


Существует ли целое число, произведение цифр которого равно  а) 1980?  б) 1990?  в) 2000?

ВверхВниз   Решение


По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?

ВверхВниз   Решение


Автор: Фадин М.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_1$ с центром $O$. Окружность $\omega_2$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для положительных значений а, b и c выполняется неравенство  .

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 590]      



Задача 64548

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 3+

Найдите наибольшее значение выражения  a + b + c + d – ab – bc – cd – da,  если каждое из чисел a, b, c и d принадлежит отрезку  [0, 1].

Прислать комментарий     Решение

Задача 64831

Тема:   [ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для положительных значений а, b и c выполняется неравенство  .

Прислать комментарий     Решение

Задача 65218

Темы:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8

Девять чисел таковы, что сумма каждых четырёх из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65239

Темы:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65428

Тема:   [ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Сумма неотрицательных чисел x1, x2, ..., x10 равна 1. Найдите наибольшее возможное значение суммы  x1x2 + x2x3 + ... + x9x10.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 590]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .