Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]

Задача 65001

Темы:	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65620

Темы:	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66111

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Толпыго А.К.

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅), а начиная с a₅ – возрастает (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116589

Темы:	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Мурашкин М.В.

Последовательность чисел a₁, a₂, ... задана условиями a₁ = 1, a₂ = 143 и при всех n ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61297

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Вавилонский алгоритм вычисления $\sqrt{2}$ . Последовательность чисел {x_n} задана условиями:

x₁ = 1, x_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right.$ x_n + $\displaystyle {\frac{2}{x_n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right)$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = $\sqrt{2}$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]