Каталог по темам

Задачи

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 328]

Задача 61526

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Многочлены Гаусса	]
	[	Производящие функции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть f_k,l(x) – производящая функция последовательности P_k,l(n) из задачи 61525: f_k,l(x) = P_k,l(0) + xP_k,l(1) + ... + x^klP_k,l(kl).

а) Докажите равенства: f_k,l(x) = f_k–1,l(x) + x^kf_k,l–1(x) = f_k,l–1(x) + x^lf_k–1,l(x).

б) Докажите, что функции f_k,l(x) совпадают с многочленами Гаусса g_k,l(x) (определение многочленов Гаусса смотри здесь).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109570

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Карпов Д.В.

Натуральные числа от 1 до 1000 по одному выписали на карточки, а затем накрыли этими карточками какие-то 1000 клеток прямоугольника 1x 1994 . Если соседняя справа от карточки с числом n клетка свободна, то за один ход ее разрешается накрыть карточкой с числом n+1 . Докажите, что нельзя сделать более полумиллиона таких ходов.

Прислать комментарий Решение

Задача 35467

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Даны 10 чисел – одна единица и 9 нулей. Разрешается выбирать два числа и заменять каждое из них их средним арифметическим.
Какое наименьшее число может оказаться на месте единицы?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65130

Темы:	[	Системы линейных уравнений	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98616

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

В однокруговом турнире участвовали 15 команд.
а) Докажите, что хотя бы в одной игре встретились команды, которые перед этой игрой участвовали в сумме в нечётном числе игр этого турнира.
б) Могла ли такая игра быть единственной?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 328]