Каталог по темам

Задачи

Страница: << 118 119 120 121 122 123 124 >> [Всего задач: 769]

Задача 64345

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Кожевников П.А.

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. Касательные, проведённые к Ω в точках B и C, пересекаются в точке P. Точки D и E – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые AB и AC. Докажите, что точка пересечения высот треугольника ADE является серединой отрезка BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64782

Темы:	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Сферы (прочее)	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A₂, B₂ и C₂ симметричны точкам A₁, B₁ и C₁ относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A₂, B₂ и C₂ лежат на одной сфере.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65165

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Неопределено	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Макаров М.А.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая касательная (та, которая ближе к точке B) касается окружностей в точках E и F. Прямая AB пересекает прямую EF в точке M. На продолжении AM за точку M выбрана точка K так, что KM = MA. Прямая KE вторично пересекает окружность, содержащую точку E, в точке C. Прямая KF вторично пересекает окружность, содержащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и A лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65236

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Якубов А.

Параллелограмм ABCD таков, что ∠B < 90° и AB < BC. Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D. Оказалось, что ∠EDA = ∠FDC. Найдите угол ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65243

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Якубов А.

Дан параллелограмм ABCD, в котором AB < AC < BC. Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что ∠ABF = ∠DCE. Найдите угол ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 118 119 120 121 122 123 124 >> [Всего задач: 769]