Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана возрастающая последовательность положительных чисел  $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$  бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.

   Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 100]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66704

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На улице дома стоят друг напротив друга, всего 50 пар. На правой стороне улицы расположены дома с чётными натуральными номерами, на левой – с нечётными натуральными номерами, номера возрастают от начала улицы к концу на каждой стороне, но идут не обязательно подряд (возможны пропуски). Для каждого дома на правой стороне улицы нашли разность между его номером и номером дома напротив, и оказалось, что все найденные числа различны. Наибольший номер дома на улице равен $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66837

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дана возрастающая последовательность положительных чисел  $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$  бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ... либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64730

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что для любого натурального n найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается n единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из n единиц и двоек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111255

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9,10

Графики функций  у = х² + ах + b  и  у = х² + сх + d  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  а⁵ + d⁶  и  c⁶ – b⁵.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115510

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8,9,10,11

Какое наибольшее значение может принимать выражение     где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 100]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями