Каталог по темам

Задачи

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 181]

Задача 108044

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Седракян Н.

Вершины правильного треугольника расположены на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF.
Докажите, что эти треугольник и шестиугольник имеют общий центр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109956

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Из середины стороны A₁A₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A₂A₃, A₃A₄, ..., A₁₉₉₈A₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115624

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Токарев С.И.

Дан треугольник ABC, AA₁, BB₁ и CC₁ – его биссектрисы. Известно, что величины углов A, B и C относятся как 4 : 2 : 1. Докажите, что A₁B₁ = A₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67023

Темы:	[	Многоугольники (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Комбинаторика (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна $p$ – 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109560

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Задачи с ограничениями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Тамаркин Д.

В правильном (6n+1)-угольнике K вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 181]