Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите все натуральные решения уравнения   2n – ¹/_n⁵ = 3 – ²/_n.

   Решение

---

Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для любого натурального n , 1 n2000 , выполняется равенство

a13+a23+..+a_n3=(a1+a2+..+a_n)2.
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, равна h , а проекция одного из катетов на гипотенузу равна l . Найдите радиус окружности, касающейся катетов, если центр окружности лежит на гипотенузе.

   Решение

---

На доске написана буква А. Разрешается в любом порядке и количестве:
  а) приписывать А слева;
  б) приписывать Б справа;
  в) одновременно приписывать Б слева и А справа.
Например, БААБ так получить можно  (A → БAA → БААБ),  а АББА – нельзя. Докажите, что при любом натуральном $n$ половину слов длины $n$ получить можно, а другую половину – нельзя.

   Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 333]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61454

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Индукция (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Для каких натуральных n в выражении

можно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65310

Темы:   [ Дискретное распределение ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В автобусе n мест, и все билеты проданы n пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66560

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Индукция (прочее) ] [ Комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

К Ивану на день рождения пришли $3 n$ гостей. У Ивана есть $3 n$ цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по $n$ штук каждого типа. Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так, чтобы длина каждого хоровода делилась на $3$, а при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ...АБВ. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(3n)!$ различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67081

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Индукция (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На доске написана буква А. Разрешается в любом порядке и количестве:
  а) приписывать А слева;
  б) приписывать Б справа;
  в) одновременно приписывать Б слева и А справа.
Например, БААБ так получить можно  (A → БAA → БААБ),  а АББА – нельзя. Докажите, что при любом натуральном $n$ половину слов длины $n$ получить можно, а другую половину – нельзя.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67401

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Взяли все 100-значные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая цифра – какая-то из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько из этих чисел делятся на $2^{100}$?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 333]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями