Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 326]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение $a?b$ обозначает одно из следующих: $a - b, b - a$ или $a + b$. Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные $a, b$ и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно $20a - 18b$.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал "по клеткам". Если после очередного сдвига ровно одна клетка у $M$ лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали $M$ по описанным правилам.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
На доске написана буква А. Разрешается в любом порядке и количестве:
а) приписывать А слева;
б) приписывать Б справа;
в) одновременно приписывать Б слева и А справа.
Например, БААБ так получить можно (A → БAA → БААБ), а АББА – нельзя. Докажите, что при любом натуральном $n$ половину слов длины $n$ получить можно, а другую половину – нельзя.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
На лист клетчатой бумаги размером n×n клеток кладутся чёрные и белые кубики, причём каждый кубик занимает ровно одну клетку. Первый слой кубиков положили произвольно, а затем вспомнили, что каждый чёрный кубик должен граничить с чётным числом белых, а каждый белый — с нечётным числом чёрных. Кубики во второй слой положили так, чтобы для всех кубиков первого слоя выполнялось это условие. Если для всех кубиков второго слоя это условие уже выполняется, то больше кубиков не кладут, если же нет, то кладут третий слой так, чтобы чтобы для всех кубиков второго слоя выполнялось это условие, и так далее. Существует ли такое расположение кубиков первого слоя, что этот процесс никогда не кончится?
Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 326]
Фильтр
Решение
