Через вершины $A$, $B$, $C$ треугольника $ABC$ провели прямые $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Отразим $a_1$, $b_1$, $c_1$ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника $ABC$, получив $a_2$, $b_2$, $c_2$. Пусть $A_1=b_1\cap c_1$, $B_1=a_1\cap c_1$, $C_1=a_1\cap b_1$, аналогично определим $A_2$, $B_2$, $C_2$. Докажите, что у треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ одинаковое отношение площади к радиусу описанной окружности (т.е. $\frac{S_1}{R_1}=\frac{S_2}{R_2}$, где $S_i=S(\triangle A_iB_iC_i)$, $R_i=R(\triangle A_iB_iC_i)$).

   Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 410]      

В параллелограмме ABCD угол между диагоналями AC и BD равен 30^o. Известно отношение AC : BD = 2 : . Точка B₁ симметрична вершине B относительно прямой AC, а точка C₁ симметрична вершине C относительно прямой BD. Найдите отношение площадей треугольника AB₁C₁ и параллелограмма ABCD.

Прислать комментарий

Решение

В тругольнике KLM угол между медианой LN и стороной KM равен 45^o. Известно, что KM : LN = 3 : . Точка L₁ симметрична вершине L относительно прямой KM, а точка M₁ симметрична вершине M относительно прямой LN. Найдите отношение площадей треугольников KL₁M₁ и KLM.

Прислать комментарий

Решение

Через вершины $A$, $B$, $C$ треугольника $ABC$ провели прямые $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Отразим $a_1$, $b_1$, $c_1$ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника $ABC$, получив $a_2$, $b_2$, $c_2$. Пусть $A_1=b_1\cap c_1$, $B_1=a_1\cap c_1$, $C_1=a_1\cap b_1$, аналогично определим $A_2$, $B_2$, $C_2$. Докажите, что у треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ одинаковое отношение площади к радиусу описанной окружности (т.е. $\frac{S_1}{R_1}=\frac{S_2}{R_2}$, где $S_i=S(\triangle A_iB_iC_i)$, $R_i=R(\triangle A_iB_iC_i)$).

Прислать комментарий

Решение

Радиус вписанной в треугольник окружности равен , а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AB равна , сторона BC равна 12, сторона AD равна 6. Известно, что угол DAB острый, угол ADC тупой, причём синус угла DAB равен , косинус угла ABC равен - . Окружность с центром в точке O касается сторон BC, CD и AD. Найдите OC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 410]