Каталог по темам

Задачи

Страница: << 152 153 154 155 156 157 158 >> [Всего задач: 1110]

Задача 116677

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9

Автор: Раскина И.В.

В клетках таблицы m×n расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах m и n, больших 100, такое возможно?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73572

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Ионин Ю.И.

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять c = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98443

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Деревья	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Раскраски	]
	[	Теорема Пика	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Авторы: Шаповалов А.В., Садыков Р.

Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105058

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Герко А.А.

В соревнованиях по n-борью участвуют 2ⁿ человек. Для каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг, и т.д., пока в n-м виде программы не будет определен победитель. Назовем спортсмена возможным победителем, если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.
а) Докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является возможными победителями.
б) Докажите, что число возможных победителей не превосходит 2ⁿ – n.
в) Докажите, что может так случиться, что возможных победителей ровно 2ⁿ – n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110178

Темы:	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р., Куликов Е.Ю.

В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 152 153 154 155 156 157 158 >> [Всего задач: 1110]