На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

• некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
• некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 488]      

На плоскости дано k точек, расположенных так, что на каждой прямой, соединяющей две из этих точек, лежит по крайней мере ещё одна из них. Доказать, что все k точек лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами  (x,y) такие, что x²+y² 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Прислать комментарий

Решение

На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

• некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
• некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 488]