Страница:
<< 63 64 65 66
67 68 69 >> [Всего задач: 488]
|
|
|
Сложность: 7-
Классы: 8,9,10
|
Окружность разбита точками
A1,
A2,...,
An на
n равных дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги
A2A6 и
A6A10 одинаково окрашены.)
Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две, скажем красная и чёрная.
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 10,11
|
Миша мысленно расположил внутри данного круга
единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр
круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг
Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него,
пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность
наверняка угадать периметр многоугольника:
а) через 3 шага с точностью до 0,3;
б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?
|
|
|
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8
|
Дано 25 чисел. Сумма любых четырех из них положительна.
Докажите, что сумма их всех тоже положительна.
Девять цифр: 1, 2, 3, ..., 9 выписаны в некотором порядке (так что
получилось девятизначное число). Рассмотрим все тройки цифр, идущих подряд, и
найдём сумму соответствующих семи трёхзначных чисел. Каково наибольшее возможное значение этой суммы?
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10
|
Пусть
a,
b,
c – длины сторон треугольника; α, β, γ – величины противолежащих углов. Докажите, что
aα +
bβ +
cγ ≥
aβ +
bγ +
cα.
Страница:
<< 63 64 65 66
67 68 69 >> [Всего задач: 488]
Фильтр
Решение 
