Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

Вниз   Решение


a, b, c – такие три числа, что  abc > 0  и  a + b + c > 0.  Доказать, что  an + bn + cn > 0  при любом натуральном n.

ВверхВниз   Решение


Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3$ \sqrt{39}$ и BC = $ \sqrt{39}$. Кроме того дано, что угол BAD равен 30o, а угол ADC равен 60o. Через точку D проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.

ВверхВниз   Решение


В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.

ВверхВниз   Решение


Докажите равенство:

arctg 1 + arctg $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{3}}$ = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$.


ВверхВниз   Решение


Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если  a, b, c, d, x, y, u, v  – вещественные числа и  abcd > 0,  то

(ax + bu)(av + by)(cx + dv)(cu + dy) ≥ (acuvx + bcuxy + advxy + bduvy)(acx + bcu + adv + bdy).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 591]      



Задача 65705

Тема:   [ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию  xyz ≥ xy + yz + zx.  Докажите неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 65838

Тема:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Известно, что число a положительно, а неравенство  1 < xa < 2  имеет ровно три решения в целых числах.
Сколько решений в целых числах может иметь неравенство  2 < xa < 3 ?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65908

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Что больше:     или  

Прислать комментарий     Решение

Задача 66293

Тема:   [ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Положительные числа x, y, z таковы, что  xyz = 1.  Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 73829

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что если  a, b, c, d, x, y, u, v  – вещественные числа и  abcd > 0,  то

(ax + bu)(av + by)(cx + dv)(cu + dy) ≥ (acuvx + bcuxy + advxy + bduvy)(acx + bcu + adv + bdy).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 591]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .