Каталог по темам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 104]

Задача 65945

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Известно, что ¹/_a – ¹/_b = ¹/_a+b. Докажите, что ¹/_a² – ¹/_b² = ¹/_ab.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66629

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Авторы: Антропов А., Мерзон Г.А.

Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ и $n$ — натуральные числа. Докажите, что если числа $(a-b)(c-d)$ и $(a-c)(b-d)$ делятся на $n$, то и число $(a-d)(b-c)$ делится на $n$.

Прислать комментарий Решение

Задача 76483

Темы:	[	Разложение на множители	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Средние величины	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78663

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что если p и q – два простых числа, причём q = p + 2, то p^q + q^p делится на p + q.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97944

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Сендеров В.А.

Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что a⁴ + b⁴ + c⁴ ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²).
а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
б) Докажите, что a² + b² + c² ≤ 2(ab + bc + ca).
в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 104]