Подтемы:
-
Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
(675 задач)
Упаковки
(8 задач)
Перестройки
(16 задач)
Раскраски
(163 задачи)
Эйлерова характеристика
(6 задач)
Целочисленные решетки
(122 задачи)
Системы точек и отрезков
(301 задача)
Геометрия на клетчатой бумаге
(143 задачи)
Комбинаторная геометрия (прочее)
(77 задач)
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
В произвольном (выпуклом — прим. ред.) шестиугольнике соединены через одну середины сторон. Докажите, что точки пересечения медиан двух образовавшихся треугольников совпадают.
Решение
Убрать все задачи
P и Q – подмножества множества выражений вида (a1, a2, ..., an), где ai – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kn). Для каждого элемента (p1, ..., pn) множества P и каждого элемента (q1, ..., qn) множества Q существует хотя бы один такой номер m, что pm = qm. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из kn–1 элементов для
а) k = 2 и любого натурального n;
б) n = 2 и любого натурального k > 1;
в) произвольного натурального n и произвольного натурального k > 1.
РешениеВ произвольном (выпуклом — прим. ред.) шестиугольнике соединены через одну середины сторон. Докажите, что точки пересечения медиан двух образовавшихся треугольников совпадают.
Решение
Задачи
Страница: << 213 214 215 216 217 218 219 >> [Всего задач: 1371]
В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду.
Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для каждого из них.
Что останется от прямоугольника?
Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны a и
b которого находятся в пропорции золотого сечения,
то есть удовлетворяют равенству
a : b = b : (a - b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из
бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной
стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший
квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова
золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола
так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и
поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим.
Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой
стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка
прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже
отсечена. Определите положение этой исключительной точки.
Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они
пересекаются в одной точке.
В произвольном (выпуклом — прим. ред.) шестиугольнике соединены через
одну середины сторон. Докажите, что точки пересечения медиан двух
образовавшихся треугольников совпадают.
Стороны произвольного выпуклого многоугольника покрашены снаружи. Проводится
несколько диагоналей многоугольника, так, что никакие три не пересекаются в
одной точке. Каждая из этих диагоналей тоже покрашена с одной стороны, т.е. с
одной стороны отрезка проведена узкая цветная полоска. Доказать, что хотя бы
один из многоугольников, на которые разбит диагоналями исходный многоугольник,
весь покрашен снаружи.
Страница: << 213 214 215 216 217 218 219 >> [Всего задач: 1371]
Задача 115711 |
|
|
Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для каждого из них.
|
|
Решение |
Задача 61310 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 77881 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 77893 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78256 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 213 214 215 216 217 218 219 >> [Всего задач: 1371]
