M₁, M₂,..., M₆ — середины сторон выпуклого шестиугольника A₁A₂...A₆. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M₁M₂, M₃M₄, M₅M₆.

   Решение

Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты $100\times100$ и $1\times1$?

   Решение

На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0, m), (n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.

   Решение

В школе провели турнир по настольному теннису. Турнир состоял из нескольких туров. В каждом туре каждый участник играл ровно в одном матче, а каждый матч судил один из не участвовавших в нем игроков.

После нескольких туров оказалось, что каждый участник сыграл по одному разу с каждым из остальных. Может ли оказаться, что все участники турнира судили одинаковое количество встреч?

   Решение

От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее.
Какая из мух раньше приползет обратно? У какой из мух выше средняя скорость движения?

   Решение

На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

   Решение

Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

   Решение

Даны отрезки, длины которых равны a, b и c. Постройте отрезок длиной: a) ab/c; б) .

   Решение

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

{	cos x=ax+b
	sin x+a=0

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

   Решение

Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?

   Решение

Сумма четырех единичных векторов равна нулю. Докажите, что их можно разбить на две пары противоположных векторов.

   Решение

Докажите, что  2ⁿ > (1 – x)ⁿ + (1 + x)ⁿ  при целом  n ≥ 2  и  |x| < 1.

   Решение

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 1010]      

Даны 6 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найти сумму всех четырёхзначных чётных чисел, которые можно написать этими цифрами (одна и та же цифра в числе может повторяться).

Прислать комментарий

Решение

Определить коэффициенты, которые будут стоять при x¹⁷ и x¹⁸ после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении

Прислать комментарий

Решение

На консультации было 20 школьников и разбиралось 20 задач. Оказалось, что каждый из школьников решил две задачи и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну из решённых им задач и все задачи были разобраны.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  2ⁿ > (1 – x)ⁿ + (1 + x)ⁿ  при целом  n ≥ 2  и  |x| < 1.

Прислать комментарий

Решение

На окружности даны точки A₁, A₂,..., A₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек A₁, A₂,..., A₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых A₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых A₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 1010]