Версия для печати
Убрать все задачи

---

При каких p и q уравнению  x² + px + q = 0  удовлетворяют два различных числа 2p и  p + q?

   Решение

---

Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на n равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на n² треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке?

   Решение

---

Пусть $D$ – основание внешней биссектрисы угла $B$ треугольника $ABC$, в котором $AB > BC$. Сторона $AC$ касается вписанной и вневписанной окружностей в точках $K$ и $K_1$ соответственно, точки $I$ и $I_1$ – центры этих окружностей. Прямая $BK$ пересекает $DI_1$ в точке $X$, а $BK_1$ пересекает $DI$ в точке $Y$. Докажите, что $XY \perp AC$.

   Решение

---

Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.

   Решение

---

Если при любом положительном p все корни уравнения  ax² + bx + c + p = 0  действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 53]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60958

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Найдите все значения параметра r, при которых уравнение  (r – 4)x² – 2(r – 3)x + r = 0  имеет два корня, причём каждый из них больше –1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60968

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

При каком значении a многочлен  P(x) = x¹⁰⁰⁰ + ax² + 9  делится на  x + 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60976

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

При каких a и b многочлен  P(x) = (a + b)x⁵ + abx² + 1  делится на  x² – 3x + 2?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76508

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Система уравнений второго порядка
   x² – y² = 0,
   (x – a)² + y² = 1
имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях a число решений системы уменьшается до трёх или до двух?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77952

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Если при любом положительном p все корни уравнения  ax² + bx + c + p = 0  действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 53]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями