- Выделение полного квадрата. Суммы квадратов (51 задача)
- Метод спуска (19 задач)
- Обратный ход (44 задачи)
- Подсчет двумя способами (222 задачи)
- Разбиения на пары и группы; биекции (327 задач)
- Итерации (70 задач)
- Процессы и операции (317 задач)
- Перебор случаев (203 задачи)
- Замена переменных (31 задача)
- Симметрия и инволютивные преобразования (22 задачи)
Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
Докажите, что на рёбрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой.
Через точку O, взятую на стороне правильного треугольника ABC, проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC, и пересекающие стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Окружность, проходящая через точки O, K и L пересекает стороны AC и AB соответственно в точках Q и P, отличных от K и L. Докажите, что треугольник OPQ — равносторонний.
За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.
Сто номерков выложили в ряд в порядке возрастания: 00, 01, 02, 03, ..., 99. Затем номерки переставили так, что каждый следующий номерок стал получаться из предыдущего увеличением или уменьшением ровно одной из цифр на 1 (например, после 29 может идти 19, 39 или 28, а 30 или 20 – не может). Какое наибольшее число номерков могло остаться на своих местах?
Выпуклый фанерный многоугольник P лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через P, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать P по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.
Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.
Задачи Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 1225]
Задача 78191 |
|
|
Даны 12 чисел, a1, a2,...a12, причём имеют место следующие неравенства:
| a2(a1 - a2 + a3) | < | 0 |
| a3(a2 - a3 + a4) | < | 0 |
| ......... | ||
| a11(a10 - a11 + a12) | < | 0 |
|
|
Решение |
Задача 78194 |
|
|
Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.
|
|
Решение |
Задача 78532 |
|
|
При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)2 + 3x + y = 2a?
|
|
|
Решение |
Задача 78538 |
|
|
Доказать, что любое чётное число 2n 0 может быть единственным образом
представлено в виде
2n = (x + y)2 + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные
числа.
|
|
|
Решение |
Задача 78562 |
|
|
Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?
|
|
|
Решение |
Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 1225]
