Версия для печати
Убрать все задачи

---

Какое наибольшее значение может принимать выражение     где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?

   Решение

---

Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие – втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 864 метра. Сколько простых и сколько творческих людей "отрастили" волку хвост?

   Решение

---

Записаны шесть положительных несократимых дробей, сумма числителей которых равна сумме их знаменателей. Паша перевёл каждую из неправильных дробей в смешанное число. Обязательно ли найдутся два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?

   Решение

---

Сравнив дроби  ¹¹¹¹¹⁰/₁₁₁₁₁₁,  ²²²²²¹/₂₂₂₂₂₃,  ³³³³³¹/₃₃₃₃₃₄,  расположите их в порядке возрастания.

   Решение

---

На экране компьютера стоят в ряд 200 человек. На самом деле эта картинка составлена из 100 фрагментов, на каждом – пара: взрослый и ребёнок пониже ростом. Разрешается в каждом из фрагментов изменить масштаб, уменьшив при этом одновременно рост взрослого и ребёнка в одинаковое целое число раз (масштабы разных фрагментов можно менять независимо друг от друга). Докажите, что это можно сделать так, что на общей картинке все взрослые будут выше всех детей.

   Решение

---

Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например,  ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈.  Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".

   Решение

---

Пусть две прямые пересекаются под углом α. Докажите, что при повороте на угол α (в одном из направлений) относительно произвольной точки одна из этих прямых перейдёт в прямую, параллельную другой.

   Решение

---

Разрежьте изображённую на рисунке доску на четыре одинаковые части, чтобы каждая из них содержала три заштрихованные клетки.

   Решение

---

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

   Решение

---

Bыпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

   Решение

---

Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь). Какие значения эти многочлены принимают при x = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:
  а)  L_n(x) = F_n–1(x) + F_n+1(x)  (n ≥ 1);
  б)  F_n(x)(x² + 4) = L_n–1(x) + L_n+1(x)  (n ≥ 1);
  в)  F_2n(x) = L_n(x)F_n(x)  (n ≥ 0);
  г)  (L_n(x))² + (L_n+1(x))² = (x² + 4)F_2n+1(x)  (n ≥ 0);
  д)  F_n+2(x) + F_n–2(x) = (x² + 2)F_n(x).

   Решение

---

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство  P(x) > x.  Определим последовательность {b_n} следующим образом:  b₁ = 1,  b_k+1 = P(b_k)  для  k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {b_n}, делящийся на d. Докажите, что  P(x) = x + 1.

   Решение

---

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, причём  ^AD/_DB = ^BE/_EC = 2  и  ∠C = 2∠DEB.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

   Решение

---

На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

---

Докажите, что если     при  n = 2, ..., 10,  то  

   Решение

---

В пространстве заданы три луча: DA, DB и DC, имеющие общее начало D, причём ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°. Сфера пересекает луч DA в точках A₁ и A₂, луч DB – в точках B₁ и B₂, луч DC – в точках C₁ и C₂. Найдите площадь треугольника A₂B₂C₂, если площади треугольников DA₁B₁, DA₁C₁, DB₁C₁ и DA₂B₂ равны соответственно , 10, 6 и 40.

   Решение

---

Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?

   Решение

---

Можно ли в прямоугольник 5×6 поместить прямоугольник 3×8?

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла A проходит через середину отрезка OH. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 2, а разность углов B и C равна 30^o.

   Решение

---

Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2^k. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2^k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д. Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 233]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61468  [Многочлены Фибоначчи и Люка]

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Специальные многочлены (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь). Какие значения эти многочлены принимают при x = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:
  а)  L_n(x) = F_n–1(x) + F_n+1(x)  (n ≥ 1);
  б)  F_n(x)(x² + 4) = L_n–1(x) + L_n+1(x)  (n ≥ 1);
  в)  F_2n(x) = L_n(x)F_n(x)  (n ≥ 0);
  г)  (L_n(x))² + (L_n+1(x))² = (x² + 4)F_2n+1(x)  (n ≥ 0);
  д)  F_n+2(x) + F_n–2(x) = (x² + 2)F_n(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61472

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Специальные многочлены (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах F_n(x) и L_n(x). Решите задачи 60581 и 60582, используя многочлены Фибоначчи.
Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри статьи в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61476

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста первоначального растения?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61503

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что бесконечная сумма

сходится к рациональному числу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78272

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2^k. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2^k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д. Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 233]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями