Фильтр
Выбрано 22 задачи Убрать все задачи
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.
б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
В треугольнике ABC ∠A = 60°, точки M и N на сторонах AB и AC соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника ABC делит отрезок MN пополам. Найдите отношение AN : MB.
Две окружности радиусов 1 и пересекаются в точке A.
Расстояние между центрами окружностей равно 2. Хорда AC большей
окружности пересекает меньшую окружность в точке B и делится этой
точкой пополам. Найдите эту хорду.
На рыбалке. Четыре друга пришли с рыбалки. Каждые двое сосчитали суммы своих уловов. Получилось шесть чисел: 7, 9, 14, 14, 19, 21. Сможете ли Вы узнать, каковы были уловы?
Две окружности пересекаются в точках A и B. Хорда CD первой окружности имеет с хордой EF второй окружности общую точку M. Известно, что BM = 2, AB = 3CM = 9EM, MD = 2CM, MF = 6CM. Какие значения может принимать длина отрезка AM?
Из центра O окружности опущен перпендикуляр OA
на прямую l. На прямой l взяты точки B и C так, что AB = AC.
Через точки B и C проведены две секущие, первая из которых
пересекает окружность в точках P и Q, а вторая — в точках M
и N. Прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S.
Докажите, что AR = AS.
Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)
На продолжении стороны AC треугольника ABC отложен отрезок CD = CB. Докажите, что если AC > BC, то угол ABD – тупой.
В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было четыре телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, восемь телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и три телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, пересекающая эти окружности соответственно в точках C1 и C2, отличных от A.
Докажите, что отрезок C1C2 виден из точки B под одним и тем же углом для любой прямой C1C2.
В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Основанием пирамиды является треугольник ABC , в котором A =
, AB = AC = 1 . Вершина D пирамиды равноудалена от
точек A и B . Сфера касается ребра CD , продолжений рёбер AD ,
BD за точку D и плоскости ABC . Точка касания с плоскостью
основания пирамиды и ортогональная проекция вершины D на эту плоскость
лежат на окружности, описанной вокруг треугольника ABC . Найдите рёбра
AD , BD , CD .
Докажите, что при x, y > 0.
На основании AD трапеции ABCD взята точка E так, что AE = BC. Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно.
Докажите, что если BO = PD, то AD² = BC² + AD·BC.
На плоскости нарисованы два квадрата - ABCD и KLMN (их вершины перечислены против часовой стрелки). Докажите, что середины отрезков AK, BL, CM, DN также являются вершинами квадрата.
Количество перестановок множества из n элементов обозначается Pn. Докажите равенство Pn = n!.
В четырёхугольнике ABCD углы A и B равны, а
D >
C.
Докажите, что AD < BC.
Сфера касается рёбер AS , CS , AB и BC треугольной пирамиды SABC
в точках D , E , F и G соответственно. Найдите отрезок FG , если
DE = DF = 8 , DG = 3 и FG на 2 больше, чем GE .
В квадрате АВСD со стороной 1 точка F – середина стороны
ВС, Е – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на DF.
Найдите длину ВЕ.
Сеть автобусных маршрутов в пригороде Амстердама устроена так, что:
а) на каждом маршруте есть ровно три остановки;
б) каждые два маршрута либо вовсе не имеют общих остановок, либо имеют только одну общую остановку.
Какое наибольшее количество маршрутов может быть в этом пригороде, если в нём всего 9 остановок?
На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол 2πk/n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)
Какое наибольшее число клеток может пересечь прямая, проведённая на листе клетчатой бумаги размером m×n клеток?
Задачи Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 222]
Задача 73677 |
|
|
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.
б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
|
|
Решение |
Задача 78482 |
|
|
Какое наибольшее число клеток может пересечь прямая, проведённая на листе клетчатой бумаги размером m×n клеток?
|
|
|
Решение |
Задача 78567 |
|
|
Даны двадцать карточек. Каждая из цифр от нуля до девяти включительно написана на двух из этих карточек (на каждой карточке – только одна цифра). Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы нули стояли рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, между двойками – две, и так далее до девяток, между которыми должно быть девять карточек?
|
|
Решение |
Задача 79443 |
|
|
За круглым столом сидят 13 богатырей из k городов, где 1 < k < 13. Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже k. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.
|
|
|
Решение |
Задача 79479 |
|
|
Доказать, что в любой группе из 12 человек можно выбрать двоих, а среди оставшихся 10 человек еще пятерых так, чтобы каждый из этих пятерых удовлетворял следующему условию: либо он дружит с обоими выбранными вначале, либо не дружит ни с одним из них.
|
|
|
Решение |
Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 222]
