Каталог по темам

Выбрано 14 задач

AB — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпендикуляры к хорде, проведённые через её концы C и D, пересекают прямую AB в точках K и M соответственно. Докажите, что AK = BM.

Решение

Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что BL = СМ. Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.

Решение

Авторы: Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л., Толпыго А.К.

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

Решение

В стране Древляндия 101 город, и некоторые из них соединены дорогами. При этом каждые два города соединяет ровно один путь.
Сколько в этой стране дорог?

Решение

Стороны треугольника ABC касаются вписанной окружности в точках K, P и M, причём точка M расположена на стороне BC. Найдите угол KMP, если ∠A = 2α.

Решение

Автор: Грязнов Ю.А.

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.

Решение

В кружке у каждого члена имеется один друг и один враг. Доказать, что
а) число членов чётно.
б) кружок можно разделить на два нейтральных кружка.

Решение

Отрезки AA1 , BB1 и CC1 , концы которых лежат на сфере радиуса 10, попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M . Известно, что AA1=12 , BB1 =18 и CM:MC1=11:3 . Найдите расстояние от центра сферы до точки M,

Решение

p простых чисел a₁, a₂, ..., a_p образуют возрастающую арифметическую прогрессию и a₁ > p.
Доказать, что если p – простое число, то разность прогрессии делится на p.

Решение

Автор: Толпыго А.К.

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅), а начиная с a₅ – возрастает (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

Решение

Автор: Спиридонов И.

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ . Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$ , причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$ , а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$ . Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$ . Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

Решение

AB и AC — две хорды, образующие угол BAC, равный 70^o. Через точки B и C проведены касательные до пересечения в точке M. Найдите $\angle$ BMC.

Решение

Окружность вписана в треугольник со сторонами, равными a, b и c. Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную a.

Решение

Доказать, что сумма цифр числа, являющегося точным квадратом, не может равняться 5.

Решение

Задача 76519

Задача 77997

Задача 78276

Задача 78513

Задача 97843