Дан треугольник ABC и точка O. M₁, M₂, M₃ — центры тяжести треугольников OAB, OBC, OCA соответственно. Доказать, что площадь треугольника M₁M₂M₃ равна 1/9 площади ABC.

   Решение

Король решил уволить в отставку премьер-министра, но не хотел его обидеть. Когда премьер-министр пришёл к королю, тот сказал: "В этот портфель я положил два листа бумаги. На одном из них написано "`Останьтесь"', на другом  — "`Уходите"'. Листок, который вы сейчас не глядя вытянете из портфеля, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках написано "Уходите". Однако ему удалось сделать так, что король его оставил. Как поступил премьер-министр?

   Решение

Докажите, что при  x ≥ 0  имеет место неравенство  

   Решение

Покупатель взял у продавца товара на 10 р. и дал 25 р. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушёл, сосед обнаружил, что 25 р. фальшивые. Продавец вернул соседу 25 р. и задумался. Какой убыток понёс продавец?

   Решение

На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше ¹/₂. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше ¹/₅.

   Решение

Дан треугольник со сторонами 2, 3, 4. Найдите радиус наименьшего круга, из которого можно вырезать этот треугольник.

   Решение

В какой системе счисления справедливо равенство 3 · 4 = 10?

   Решение

``65 = 64 = 63''. Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы доказать равенство ``64=63''?

   Решение

Чётно или нечётно число  1 + 2 + 3 + ... + 1990?

   Решение

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 150]      

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых  a + b  лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.

Прислать комментарий

Решение

На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше ¹/₂. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше ¹/₅.

Прислать комментарий

Решение

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Прислать комментарий

Решение

В классе организуется турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учащихся этого класса (кроме команды всего класса). Доказать, что каждая команда учащихся будет соревноваться с командой всех остальных учащихся класса.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли разбить множество целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого значения n числа n, n - 50, n + 1987 принадлежали трём разным подмножествам?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 150]