Угол при вершине A ромба ABCD равен 20°. Точки M и N – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на стороны AD и CD.
Найдите углы треугольника BMN.

   Решение

Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC. Найдите CD, если известно, что BC = 37, AC = 15, AB = 44, AD = 14.

   Решение

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше k.

   Решение

Около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Кроме того, AB = 3, BC = 4, CD = 5 и AD = 2. Найдите AC.

   Решение

Даны четыре окружности  S₁, S₂, S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S₅ = S₁). Докажите, что радикальная ось окружностей S₁ и S₃ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к S₂ и S₄.

   Решение

В угол с вершиной A , равный 60^o , вписана окружность с центром O . К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках B и C . Отрезок BC пересекается с отрезком AO в точке M . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , если AM:MO = 2:3 и BC = 7 .

   Решение

Найдите угол между радиусами OA и OB, если расстояние от центра O окружности до хорды AB:  а) вдвое меньше AB;  б) вдвое меньше OA.

   Решение

В графе 20 вершин, степень каждой не меньше 10. Доказать, что в нём есть гамильтонов путь.

   Решение

В неравнобедренном треугольнике ABC биссектрисы углов A и B обратно пропорциональны противолежащим сторонам. Найдите угол C.

   Решение

Восемь детей разделили между собой 32 персика следующим образом. Аня получила 1 персик, Катя – 2, Лиза – 3 и Даша – 4. Коля Иванов взял столько же персиков, сколько и его сестра, Пете Гришину досталось вдвое больше персиков, чем его сестре, Толе Андрееву – втрое больше, чем его сестре, и, наконец, Вася Сергеев получил персиков вчетверо больше, чем его сестра. Назовите фамилии четырёх девочек.

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC  ∠B = 120°.  Найдите общую хорду описанной окружности треугольника ABC и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов A и C, если  AC = 1.

   Решение

Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ... такова, что
P(a₁) = 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂,  и т.д. Какую степень может иметь P(x)?

   Решение

Докажите, что произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны между собой.

   Решение

n точек расположены в вершинах выпуклого n-угольника. Внутри этого n-угольника отметили k точек. Оказалось, что любые три из n + k точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число k?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 133]      

В пятиугольнике A₁A₂A₃A₄A₅ проведены биссектрисы l₁, l₂, ..., l₅ углов A₁, A₂, ..., A₅ соответственно. Биссектрисы l₁ и l₂ пересекаются в точке B₁, l₂ и l₃ – в точке B₂ и т.д., ..., l₅ и l₁ пересекаются в точке B₅. Может ли пятиугольник B₁B₂B₃B₄B₅ оказаться выпуклым?

Прислать комментарий

Решение

В любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ лежит выпуклый четырёхугольник A₅A₆A₇A₈. Внутри A₅A₆A₇A₈ выбрана точка A₉. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что можно выбрать из них 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

n точек расположены в вершинах выпуклого n-угольника. Внутри этого n-угольника отметили k точек. Оказалось, что любые три из n + k точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число k?

Прислать комментарий

Решение

а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 133]