Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямоугольный лист бумаги размером a×b см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел a или b целое.

   Решение

---

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S₁ проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S₂ в точках B и C, а через точку D окружности S₂ – прямые DM и DN, пересекающие S₁ в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если  AB = DE,  то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.

   Решение

---

На окружности выбрано пять точек A₁, A₂, A₃, A₄, H. Обозначим через h_ij расстояние от точки H до прямой A_iA_j. Доказать, что   h₁₂h₃₄ = h₁₄h₂₃.

   Решение

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 1007]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79434

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 9

На окружности выбрано пять точек A₁, A₂, A₃, A₄, H. Обозначим через h_ij расстояние от точки H до прямой A_iA_j. Доказать, что   h₁₂h₃₄ = h₁₄h₂₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79555

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AC взяты соответственно точки M, K и L так, что прямая MK параллельна прямой AC и ML параллельна BC. При этом отрезок BL пересекает отрезок MK в точке P, а AK пересекает ML в точке Q. Докажите, что отрезки PQ и AB параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86947

Темы:   [ Свойства сечений ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть M и N – точки пересечения медиан граней ABD и BCD тетраэдра ABCD. Найдите MN, если известно, что  AC = a.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 101876

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, делит биссектрису острого угла в отношении  4 : 3,  считая от вершины.
Найдите величину этого угла.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102265

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Окружность радиуса 2 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором углы при вершинах A и B равны 30° и 45° соответственно.
Найдите высоту, проведённую из вершины A.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 1007]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями