Подтемы:
-
Индукция
(416 задач)
Принцип Дирихле
(593 задачи)
Принцип крайнего
(490 задач)
Инварианты и полуинварианты
(290 задач)
Вспомогательная раскраска
(161 задача)
Алгебраические методы
(1235 задач)
Геометрические методы
(354 задачи)
Методы математического анализа
(129 задач)
Доказательство от противного
(398 задач)
Примеры и контрпримеры. Конструкции
(1041 задача)
Методы решения задач с параметром
(53 задачи)
Оценка + пример
(160 задач)
Фильтр
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Точки $P$, $Q$ лежат внутри окружности $\omega$. Серединный перпендикуляр к отрезку $PQ$ пересекает $\omega$ в точках $A$ и $D$. Окружность с центром $D$, проходящая через $P$ и $Q$, пересекает $\omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезок $PQ$ лежит внутри треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle ACP = \angle BCQ$.
Решение
В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).
Решение
Решение
Решение
Докажите, что 4S = (a2 - (b - c)2)ctg(
/2).
Решение
Известно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин. Решение
В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину? Решение
Убрать все задачи
Точки $P$, $Q$ лежат внутри окружности $\omega$. Серединный перпендикуляр к отрезку $PQ$ пересекает $\omega$ в точках $A$ и $D$. Окружность с центром $D$, проходящая через $P$ и $Q$, пересекает $\omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезок $PQ$ лежит внутри треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle ACP = \angle BCQ$.
РешениеВ пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).
РешениеНайдите все действительные корни уравнения (x + 1)21 + (x + 1)20(x – 1) + (x + 1)19(x – 1)² + ... + (x – 1)21 = 0.
РешениеУкажите все пары (x; y), для которых выполняется равенство (x4 + 1)(y4 + 1) = 4x²y².
РешениеДокажите, что 4S = (a2 - (b - c)2)ctg(
РешениеИзвестно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.
А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы
а) произвольного куба;
б) произвольного правильного тетраэдра?
(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)
РешениеВ озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
Решение
Задачи
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 4260]
Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату -
1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой
320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с
покупкой до следующей зарплаты.
В озере растут
лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса
появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится
пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами.
Через какое время озеро было заполнено наполовину?
Обязательно ли среди двадцати пяти "медных" монет (т.е. монет
достоинством 1, 2, 3, 5 коп.) найдётся семь монет одинакового
достоинства?
a) Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели.
b) Докажите, что среди жителей Москвы найдутся десять тысяч, празднующих день рождения в один и тот же день.
Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или
с одинаковым отчеством, или с одинаковой
фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия.
Может ли такое быть?
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 4260]
Задача 21984 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 87942 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 88178 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 103987 |
|
|
b) Докажите, что среди жителей Москвы найдутся десять тысяч, празднующих день рождения в один и тот же день.
|
|
|
Решение |
Задача 103774 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 4260]
