Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Расстояния от центра описанной окружности остроугольного
треугольника до его сторон равны da, db и dc. Докажите,
что
da + db + dc = R + r.
С помощью циркуля и линейки постройте выпуклый четырёхугольник по серединам его трёх равных сторон.
Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.
Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.
Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.
Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?
Две окружности разных радиусов касаются в точке C одной прямой и расположены по одну сторону от неё. Отрезок CD – диаметр большей окружности. Из точки D проведены две прямые, касающиеся меньшей окружности в точках A и B. Прямая, проходящая через точки C и A, образует с общей касательной к окружностям в точке C угол 75° и пересекает большую окружность в точке M. Известно, что AM = . Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных DA, DB и дугой ACB меньшей окружности.
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает
описанную окружность в точке D. Докажите, что
AB + AC 2AD.
Игра происходит на бесконечной плоскости. Играют двое: один передвигает одну фишку-волка, другой – 50 фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец, затем, после следующего хода волка, опять какая-нибудь из овец и т. д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более, чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну овцу?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 57721 |
|
|
Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности
треугольника ABC, Z и r — центр и радиус
его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан
треугольника с вершинами в точках касания вписанной
окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите,
что точка Z лежит на отрезке OK, причем
OZ : ZK = 3R : r.
|
|
Решение |
Задача 78545 |
|
|
Из точки O на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может, один вектор), длина суммы которых больше 1.
|
|
|
Решение |
Задача 78798 |
|
|
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
|
|
|
Решение |
Задача 97770 |
|
|
Игра происходит на бесконечной плоскости. Играют двое: один передвигает одну фишку-волка, другой – 50 фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец, затем, после следующего хода волка, опять какая-нибудь из овец и т. д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более, чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну овцу?
|
|
Решение |
Задача 108112 |
|
|
Из центра O правильного n-угольника A1A2...An проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа a1, a2, ..., an, что
a1 > a2 > ... > an > 0. Докажите, что линейная комбинация векторов отлична от нулевого вектора.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
