Версия для печати
Убрать все задачи

---

Обозначим через  L(m)  длину периода дроби ¹/_m. Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то  L(m)  является делителем числа φ(m).

   Решение

---

В треугольнике ABC угол C равен 90^o , AC = 12 , sin A = . Найдите BC .

   Решение

---

На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что  ∠AKB = ∠ADC.  Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

   Решение

---

Периодом дроби ¹/₇ является число  N = 142857.  Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток
142 + 857 = 999).  Докажите в общем случае, что для простого  q > 5  и натурального  p < q  период дроби ^p/_q есть такое 2n-значное число  N = N₁N₂,  что  N₁ + N₂ = .

   Решение

---

Докажите, что при любом натуральном n найдётся ненулевой многочлен P(x) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2ⁿ, который делится на
(x – 1)ⁿ.

   Решение

Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 417]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97910

Темы:   [ Производящие функции ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел   1, 2, 3, ..., n.  Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97942

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Деление с остатком ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98055

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что при любом натуральном n найдётся ненулевой многочлен P(x) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2ⁿ, который делится на
(x – 1)ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60581  [Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля]

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77972

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ] [ Иррациональные неравенства ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Доказать неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 417]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями