Докажите, что для любого натурального N существует N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.

   Решение

Даны две окружности S₁, S₂ и прямая l. Проведите прямую l₁, параллельную прямой l, так, чтобы:
а) расстояние между точками пересечения l₁ с окружностями S₁ и S₂ имело заданную величину a;
б) S₁ и S₂ высекали на l₁ равные хорды;
в) S₁ и S₂ высекали на l₁ хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a.

   Решение

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4 .

Прислать комментарий

Решение

Пусть a , b и c – стороны параллелепипеда, d – одна из его диагоналей. Докажите, что a2 + b2 + c2 d2 .

Прислать комментарий

Решение

В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD , не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K – их середины. Докажите, что MK < (AD + BC) .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство  AB·CD + AC·BD > AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]