Каталог по темам

Задачи

Страница: << 48 49 50 51 52 53 54 >> [Всего задач: 488]

Задача 78568

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дана последовательность ..., a_-n,..., a_-1, a₀, a₁,..., a_n,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен ${\frac{1}{4}}$ суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).

Прислать комментарий Решение

Задача 79307

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Елисеев С.Л.

В некотором государстве города соединены дорогами. Длина каждой дороги меньше 500 км, и из каждого города в любой другой можно попасть, проехав по дорогам меньше 500 км. Когда одна дорога оказалась закрытой на ремонт, выяснилось, что из каждого города можно проехать по оставшимся дорогам в любой другой. Доказать, что при этом можно проехать меньше 1500 км.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79356

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Бесконечные пределы и пределы на бесконечности	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

На плоскости расположено несколько прямых и точек. Доказать, что на плоскости найдётся точка A, не совпадающая ни с одной из данных точек, расстояние от которой до любой из данных точек больше расстояния от неё до любой из данных прямых.

Прислать комментарий Решение

Задача 98006

Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Кохась К.П.

а) Докажите, что если в 3n клетках таблицы 2n×2n расставлены 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n столбцов и n строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.
б) Докажите, что в таблице 2n×2n можно расставить 3n + 1 звёздочку так, что при вычеркивании любых n строк и любых n столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98456

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 48 49 50 51 52 53 54 >> [Всего задач: 488]