ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]      



Задача 66612

Темы:   [ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Тетраэдр и пирамида (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
Прислать комментарий     Решение


Задача 110485

 [Равногранный тетраэдр]
Темы:   [ Равногранный тетраэдр ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Развертка помогает решить задачу ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Медиана пирамиды (тетраэдра) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1) все грани равновелики;

2) каждое ребро равно противоположному;

3) все грани равны;

4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5) суммы углов при каждой вершине равны;

6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180o ;

7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11) высоты тетраэдра равны;

12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;

13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;

14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180o ;

15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180o и два противоположных ребра равны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 87448

Темы:   [ Правильный тетраэдр ]
[ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Ребро правильного тетраэдра равно . Найдите радиус шара, поверхность которого касается всех рёбер тетраэдра.
Прислать комментарий     Решение


Задача 87027

Темы:   [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]
[ Расстояние между скрещивающимися прямыми ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Объем помогает решить задачу ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Объем параллелепипеда ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

На скрещивающихся прямых l и m взяты отрезки AB и CD соответственно. Докажите, что объём пирамиды ABCD не зависит от положения отрезков AB и CD на этих прямых. Найдите этот объём, если AB = a , CD = b , а угол и расстояние между прямыми l и m равны соответственно α и c .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109204

Темы:   [ Касающиеся сферы ]
[ Касательные к сферам ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Две сферы равных радиусов касаются друг друга. Через точку M проведены две прямые, касающиеся данных сфер. Первая прямая касается сфер в точках A и B , вторая – в точках C и D , точки A и C лежат на одной сфере. Известно, что AB=6 , CD = 2 , BMD = 60o и MB>MA . Найдите радиусы сфер.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .