Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена.
Каждое выделенное подмножество состоит в точности из
2
k элементов
(
k – фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом
подмножестве, состоящем не более чем из
(
k+1)
2 элементов,
либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все
в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент.
Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых t1, ..., t100 из S множества
Aj = {x + tj | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно, что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для того, чтобы все побывали в гостях у всех,
а) четырёх вечеров недостаточно,
б) пяти вечеров также недостаточно,
в) а десяти вечеров достаточно,
г) и даже семи вечеров тоже достаточно.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
У каждого из жителей города
N знакомые составляют не менее 30 населения города.
Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так
провести выборы мэра города
N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины
жителей.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]
Тема:
Все темы
>>
Логика и теория множеств
>>
Теория множеств
>>
Объединение, пересечение и разность множеств
