Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 984]      

Существуют ли такие ненулевые числа a, b, c, что при любом  n > 3  можно найти многочлен вида  P_n(x) = xⁿ + ... + ax² + bx + c,  имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней?

Прислать комментарий

Решение

Изначально на доске были написаны одночленs  1, x, x², ..., xⁿ.  Договорившись заранее, k мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат дописывали на доску. Через m минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены  S₁ = 1 + x,  S₂ = 1 + x + x²,  S₃ = 1 + x + x² + x³,  ...,  S_n = 1 + x + x² + ... + xⁿ.  Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

На координатной плоскости нарисовано n парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более  2(n – 1)  углов (то есть точек пересечения пары парабол).

Прислать комментарий

Решение

  а) Пусть q – натуральное число и функция   f(x) = cq^x + a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  принимает целые значения при  x = 0, 1, 2, ..., n + 1.
Докажите, что при любом натуральном x число  f(x) также будет целым.
  б) Пусть выполняются условия пункта а) и  f(x) делится на некоторое целое  m ≥ 1  при  x = 0, 1, 2, ..., n + 1.  Докажите, что  f(x) делится на m при всех натуральных x.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \begin{align*} &a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\ \ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \end{align*} имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 984]