Страница:
<< 98 99 100 101
102 103 104 >> [Всего задач: 984]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9
|
По окружности выписаны n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0,
x1x3 + x2x4 + ... + xnx2 = 0, x1x4 + x2x5 + ... + xnx3 = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
б)* Существует ли такой набор чисел для n = 16?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Трёхчлен ax² + bx + c при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда ax² + bx + c = (dx + e)².
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Многочлен P(x) со старшим коэффициентом, равным 1, обладает тем свойством, что среди значений, принимаемых им при натуральных значениях аргумента, встречаются все числа вида 2m с натуральным m. Докажите, что этот многочлен – первой степени.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Даны непостоянные многочлены P(x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).
Страница:
<< 98 99 100 101
102 103 104 >> [Всего задач: 984]
Фильтр
