Страница: << 159 160 161 162 163 164 165 >> [Всего задач: 984]      

Пусть P(x) – многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел  a₁, a₂, ...  такова, что  P(a₁)= 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂  и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь P(x)?

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что для любого целого n число     можно представить в виде разности     где k – целое.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли в таблице 11×11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?

Прислать комментарий

Решение

Приведённые квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что уравнения  f(g(x)) = 0  и  g(f(x)) = 0  не имеют вещественных корней.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений  f(f(x)) = 0  и  g(g(x)) = 0  тоже не имеет вещественных корней.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы
     y = xⁿ + px + q,  z = yⁿ + py + q,  x = zⁿ + pz + q,
то выполнено неравенство  x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y.
Рассмотрите случаи   а)  n = 2;   б)  n = 2010.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 159 160 161 162 163 164 165 >> [Всего задач: 984]