Каталог по темам

Задачи

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 417]

Задача 60480

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что числа Ферма f_n = 2^2ⁿ + 1 при n > 1 не представимы в виде суммы двух простых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60504

Темы:	[	Алгоритм Евклида	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

При каких целых $n$ число
а) $\frac{n^4+3}{n^2+n+1}$; б) $\frac{n^3+n+1}{n^2-n+1}$ также будет целым?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60653

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Малая теорема Ферма	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что
а) 2⁴¹ + 1 делится на 83;
б) 2⁷⁰ + 3⁷⁰ делится на 13;
в) 2⁶⁰ – 1 делится на 20801.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60749

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n⁸ + 1, либо n⁸ – 1 делится на 17.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60943

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что корни уравнения
а) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) = 0;
б) c(x – a)(x – b) + a(x – b)(x – c) + b(x – a)(x – c) = 0
всегда вещественные.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 417]