ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]      



Задача 107867

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Поворот и винтовое движение ]
[ Двумерные поверхности ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
  для простоты шестёренки считаются кругами;
  шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
  угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;
  первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66239

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ]
[ Внутренность и внешность. Лемма Жордана ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Сколько (максимум) кругов можно расположить на плоскости так, чтобы каждые два из них пересекались, а никакие три – нет?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98172

Темы:   [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Задачи на движение ]
[ Связность. Связные множества ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Ширина реки один километр. Это по определению означает, что от любой точки каждого берега можно доплыть до противоположного берега, проплыв не больше километра. Может ли катер проплыть по реке так, чтобы в любой момент расстояние до любого из берегов было бы не больше:
  а) 700 м?
  б) 800 м?
(Берега состоят из отрезков и дуг окружностей.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 73755

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Внутренность и внешность. Лемма Жордана ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .