ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Комбинаторика >> Классическая комбинаторика >> Перестановки и подстановки >> Перестановки и подстановки (прочее)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите формулу:

arccos x = $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{есл... ...arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }0\leqslant x... ...\ \pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}$


Вниз   Решение

  Каждую пятницу десять джентльменов приходят в клуб, и каждый отдает швейцару свою шляпу. Каждая шляпа точно впору своему хозяину, но двух одинаковых по размеру шляп нет. Уходят джентльмены по одному в случайном порядке.
  Провожая очередного джентльмена, швейцар клуба пробует надеть ему на голову первую попавшуюся шляпу. Если налезает, джентльмен уходит в этой шляпе. Если мала, то швейцар пробует следующую случайную шляпу из оставшихся. Если все оставшиеся шляпы оказались малы, швейцар говорит бедняге: "Сэр, сегодня шляпа вам не к лицу", и джентльмен отправляется домой с непокрытой головой. Найдите вероятность того, что в следующую пятницу у швейцара не останется ни одной шляпы.

ВверхВниз   Решение

Автор: Алексеев В.Б.

По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел a, b, c, d произведение чисел  a – d  и  b – c  отрицательно, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что имеют место следующие соотношения:

cos arcsin x = $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$;    sin arccos x = $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$;
tg arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{x}}$;    ctg arctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{x}}$;
cos arctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$;    sin arctg x = $\displaystyle {\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$;
cos arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$;    sin arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$.


ВверхВниз   Решение

Найдите соотношение между arcsin cos arcsin x и arccos sin arccos x.

ВверхВниз   Решение

Автор: Горяшин Д.В.

Существует ли такое значение x, что выполняется равенство  arcsin2x + arccos2x = 1?

ВверхВниз   Решение

Докажите равенство:

arcsin x + arcsin y = $\displaystyle \eta$arcsin(x$\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + y$\displaystyle \sqrt{1-x^2}$) + $\displaystyle \varepsilon$$\displaystyle \pi$,

где $ \eta$ = 1, $ \varepsilon$ = 0, если xy < 0 или x2 + y2 $ \leqslant$ 1; $ \eta$ = - 1, $ \varepsilon$ = - 1, если x2 + y2 > 1, x < 0, y < 0; $ \eta$ = - 1, $ \varepsilon$ = 1, если x2 + y2 > 1, x > 0, y > 0.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 61]      

  с решениями  

Задача 35483

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Правило произведения ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что существуют числа, не менее чем 100 способами представимые в виде суммы 2001 слагаемого, каждое из которых является 2000-й степенью целого числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65358

Темы:   [ Дискретное распределение ]
[ Средние величины ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Если один человек тратит в очереди одну минуту на ожидание, будем говорить, что бесцельно затрачена одна человеко-минута. В очереди в банке стоит восемь человек, из них пятеро планируют простые операции, занимающие 1 минуту, а остальные планируют длительные операции, занимающие 5 минут. Найдите:
  а) наименьшее и наибольшее возможное суммарное количество бесцельно затраченных человеко-минут;
  б) математическое ожидание количества бесцельно затраченных человеко-минут, при условии, что клиенты встают в очередь в случайном порядке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78487

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.
Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98399

Темы:   [ Кооперативные алгоритмы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

a) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладёт рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.

б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли и в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109718

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Математическая логика (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Подлипский О.К.

Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них A, B и C и спросить, верно ли, что
m(A) < m(B) < m(C)  (через m(x) обозначена масса гири x). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 61]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .