Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 81]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n1, n2, ..., nk и отдельно сообщит значение выражения P(n1)P(n2)...P(nk). По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$ и такой многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого числа $p$ и любого натурального $k$?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Барон Мюнхгаузен утверждает, что существуют многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами и натуральные числа
$m$ и $n$ со свойством:
$f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого $p$ и любого натурального $k$.
Не ошибается ли барон?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Если многочлен с целыми коэффициентами при трёх различных целых значениях переменной принимает значение 1, то он не имеет ни одного целого корня. Докажите это.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 81]
Фильтр
Решение
Решение 
