Каталог по темам

Задачи

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 2468]

Задача 34988

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Докажите, что ни при каком натуральном m число 1998^m – 1 не делится на 1000^m – 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 34993

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Теория множеств (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2^n–1 различными способами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35007

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Найдите все пары натуральных чисел (x, y), удовлетворяющие уравнению xy – x + 4y = 15.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35037

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Раскладки и разбиения	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В обращении есть монеты достоинством в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и 1 рубль. Известно, что k монетами можно набрать m копеек.
Докажите, что m монетами можно набрать k рублей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35071

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Правило произведения	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 2000?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 2468]