Страница: << 132 133 134 135 136 137 138 >> [Всего задач: 2468]      

На доске написаны числа
  а) 1, 2. 3, ..., 1997, 1998;
  б) 1, 2, 3, ..., 1998, 1999;
  в) 1, 2, 3, ..., 1999, 2000.
Разрешается стереть с доски любые два числа, заменив их разностью большего и меньшего. Можно ли, выполнив эту операцию много раз. получить на доске единственное число – 0? Если да, то как это сделать?

Прислать комментарий

Решение

Решите в натуральных числах уравнение  3^x + 4^y = 5^z.

Прислать комментарий

Решение

В последовательности троек целых чисел  (2, 3, 5),  (6, 15, 10), ... каждая тройка получается из предыдущей таким образом: первое число умножается на второе, второе – на третье, а третье – на первое, и полученные произведения дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т.д.

Прислать комментарий

Решение

На доске записано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и записать вместо них одну цифру, отличную от стёртых. Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске останется одна-единственная цифра, то она не зависит от порядка, в котором производились стирания.

Прислать комментарий

Решение

Дано n попарно взаимно простых чисел, больших 1 и меньших  (2n – 1)².  Докажите, что среди них обязательно есть простое число.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 132 133 134 135 136 137 138 >> [Всего задач: 2468]