Каталог по темам

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 188]

Задача 67305

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня) $$ \sqrt{(* + *)\cdot \sqrt{(* + *) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{*+*}}}} . $$ Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?

Прислать комментарий Решение

Задача 79498

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73658

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бешкарев В.П.

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105070

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Челноков Г.Р., Сендеров В.А.

Решите в натуральных числах уравнение (1 + n^k)^l = 1 + n^m, где l > 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64190

Темы:	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Эстафета длиной 2004 км состоит из нескольких этапов одинаковой длины, выражающейся целым числом километров. Участники команды города Энск бежали несколько дней, пробегая каждый этап ровно за один час. Сколько часов они бежали, если известно, что они уложились в неделю?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 188]