Страница: << 126 127 128 129 130 131 132 >> [Всего задач: 704]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97764

Темы:   [ Отношения площадей (прочее) ] [ Перегруппировка площадей ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

  Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Каждая его сторона разбита на k равных частей. Точки деления, принадлежащие стороне AB, соединены прямыми с точками деления, принадлежащими стороне CD, так что первая, считая от A, точка деления соединена с первой точкой деления, считая от D, вторая, считая от A, – со второй, считая от D, и т. д. (первая серия прямых), а точки деления, принадлежащие стороне BC, аналогичным образом соединены с точками деления, принадлежащими стороне DA (вторая серия прямых). Образовалось k² маленьких четырёхугольников. Из них выбрано k четырёхугольников таким образом, что каждые два выбранных четырёхугольника разделены хотя бы одной прямой первой серии и хотя бы одной прямой второй серии.
  Доказать, что сумма площадей выбранных четырёхугольников равна  ¹/_k S_ABCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97828

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Индукция (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97983

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Полуинварианты ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a₁, a₂, a₃, ..., a_n.  Берётся сумма  S = ^a₁/₁ + ^a₂/₂ + ... + ^a_n/_n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a₁, a₂, a₃, ..., a_n)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105107

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Подсчет двумя способами ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
  а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
  б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107780

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Прямоугольник размером 1×k при всяком натуральном k будем называть полоской. При каких натуральных n прямоугольник размером 1995×n можно разрезать на попарно различные полоски?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 126 127 128 129 130 131 132 >> [Всего задач: 704]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями