Каталог по темам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 107]

Задача 98176

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Лейбниц Готфрид Вильгельм

Рассматривается числовой треугольник:

(первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один элемент. Найдите его.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60557

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Числа Каталана	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число целое.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60741

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение a^p ≡ a (mod p).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61493

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть a_n – число решений уравнения x₁ + ... + x_k = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65286

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Средние величины	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

На экзамене даётся три задачи по тригонометрии, две по алгебре и пять по геометрии. Ваня решает задачи по тригонометрии с вероятностью
p₁ = 0,2, по геометрии – с вероятностью p₂ = 0,4, по алгебре – с вероятностью p₃ = 0,5. Чтобы получить тройку, Ване нужно решить не менее пяти задач.
а) С какой вероятностью Ваня решит не менее пяти задач?
Ваня решил усиленно заняться задачами какого-нибудь одного раздела. За неделю он может увеличить вероятность решения заданий этого раздела на 0,2.
б) Каким разделом следует заняться Ване, чтобы вероятность решить не менее пяти задач стала наибольшей?
в) Каким разделом следует заняться Васе, чтобы математическое ожидание числа решённых задач стало наибольшим?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 107]