Страница:
<< 71 72 73 74
75 76 77 >> [Всего задач: 393]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В однокруговом хоккейном турнире принимало участие 2016 команд. По регламенту турнира за победу даётся 3 очка, за поражение 0 очков, а в случае ничьей назначается дополнительное время, победитель которого получает 2 очка, а проигравший – 1 очко. По окончании турнира Остапу Бендеру сообщили количество очков, набранных каждой командой, на основании чего он сделал вывод, что не менее N матчей закончились дополнительным временем. Найдите наибольшее возможное значение N.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {$\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$}.
Например, для тетраэдра ($\text{В}=4$, $\text{Р}=6$, $\text{Т}=3$) выполняется равенство,
а для треугольной призмы ($\text{В}=6$, $\text{Р}=9$, $\text{Т}=1$) или куба ($\text{В}=8$, $\text{Р}=12$, $\text{Т}=0$) имеет место строгое неравенство.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В пространстве расположены 2n точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены n² + 1 отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют
а) хотя бы один треугольник;
б) не менее n треугольников.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника
A1A2A3...An. Рассматриваются углы AiOAj при всевозможных парах (i, j) (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере n – 1 не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.
б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Система укреплений состоит из блиндажей. Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причём из каждого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовём систему надёжной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (то есть такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка
поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих
передвижений).
а) Докажите, что система укреплений, изображённая на рисунке,
надёжна.
б) Найдите все надёжные системы укреплений, которые перестают быть
надёжными после разрушения любой из траншей.
Страница:
<< 71 72 73 74
75 76 77 >> [Всего задач: 393]
Фильтр
