Страница:
<< 240 241 242 243
244 245 246 >> [Всего задач: 1371]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять c = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрёстка и покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекрёсток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрёстков кратна 4.
На плоскости дано конечное число точек, причем
любая прямая, проходящая через две из данных точек,
содержит еще одну данную точку. Докажите, что все данные
точки лежат на одной прямой (Сильвестр).
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10
|
Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит 
.
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены
в три цвета. Докажите, что существует равнобедренный
прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.
Страница:
<< 240 241 242 243
244 245 246 >> [Всего задач: 1371]
Фильтр
