Страница:
<< 27 28 29 30 31 32
33 >> [Всего задач: 165]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Петя красит каждую клетку доски $2m\times 2n$ в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на доминошки (прямоугольники из двух клеток).
Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше двухцветных доминошек,
а Вася — к тому, чтобы их получилось как можно меньше.
Наличие какого наибольшего числа двухцветных доминошек может гарантировать Петя, как бы ни действовал Вася?
(Напомним, что граница многоугольника — замкнутая ломаная без самопересечений.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Квадрат
n×
n (
n
3
) склеен
в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что
найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или
две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет
параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит
прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
В кабинете президента стоят 2004 телефона, любые два из которых соединены проводом одного из четырёх цветов. Известно, что провода всех четырёх цветов присутствуют. Всегда ли можно выбрать несколько телефонов так, чтобы среди соединяющих их проводов встречались провода ровно трех цветов?
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрёстка и покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекрёсток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрёстков кратна 4.
Страница:
<< 27 28 29 30 31 32
33 >> [Всего задач: 165]
Фильтр
