Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 75]
На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести,
чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз),
можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?
|
|
Сложность: 6 Классы: 10,11
|
На плоскости даны две замкнутые ломаные $a,b$ (возможно, самопересекающиеся) и точки $K$, $L$, $M$, $N$. Вершины ломаных и эти точки находятся в общем положении (т.е. никакие три из них не лежат на прямой и никакие три отрезка, их соединяющие, не имеют общей внутренней точки). Каждый из отрезков $KL$ и $MN$ пересекает ломаную $a$ в четном количестве точек, а каждый из отрезков $LM$ и $NK$ – в нечетном. Ломаная $b$, наоборот, пересекает каждый из отрезков $KL$ и $MN$ в нечетном количестве точек, а каждый из отрезков $LM$ и $NK$ – в четном. Докажите, что ломаные $a$ и $b$ пересекаются.
|
|
Сложность: 6 Классы: 8,9,10,11
|
Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба.
Каждая спица протыкает ровно 2n кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а)
Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б)
Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
Докажите, что не существует многогранника, у которого было бы ровно семь рёбер.
На плоскости дано n прямых общего положения. Чему равно число образованных ими треугольников?
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 75]