Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 75]      

Коля и Витя играют в следующую игру на бесконечной клетчатой бумаге. Начиная с Коли, они по очереди отмечают узлы клетчатой бумаги — точки пересечения вертикальных и горизонтальных прямых. При этом каждый из них своим ходом должен отметить такой узел, что после этого все отмеченные узлы лежали в вершинах выпуклого многоугольника (начиная со второго хода Коли). Тот из играющих, кто не сможет сделать очередного хода, считается проигравшим. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что в любом выпуклом $1001$-угольнике сумма длин любых $k$ диагоналей не меньше суммы длин остальных диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

На бесконечной шахматной доске через каждые три клетки по горизонтали и по вертикали стоит фишка. Можно ли обойти конем оставшуюся часть доски, побывав при этом на каждом поле ровно один раз?

Прислать комментарий

Решение

Разрежьте каждый из равносторонних треугольников со сторонами 2 и 3 на три части и сложите из всех полученных частей равносторонний треугольник.

Прислать комментарий

Решение

а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁A₂A₃...A_n. Рассматриваются углы A_iOA_j при всевозможных парах  (i, j)  (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере  n – 1  не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.

б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 75]