Каталог по темам

Задачи

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 594]

Задача 78051

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$ ${\frac{1}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$ , $\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$ ${\frac{2}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$ , ..., $\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$ ${\frac{M}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.

Прислать комментарий Решение

Задача 78496

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?

Прислать комментарий Решение

Задача 78557

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Вдоль коридора положено несколько кусков ковровой дорожки. Куски покрывают весь коридор из конца в конец без пропусков и даже налегают друг на друга, так что над некоторыми местами пола они лежат в несколько слоев. Доказать, что можно убрать несколько кусков, возможно, достав их из-под других и оставив остальные в точности на тех же местах, где они лежали прежде, так что коридор по-прежнему будет полностью покрыт, и общая длина оставленных кусков будет меньше удвоенной длины коридора.

Прислать комментарий Решение

Задача 78825

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Обратный ход	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79403

Темы:	[	Ломаные внутри квадрата	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 594]